第二宇宙速度推导

第二宇宙速度和第三宇宙速度是如何推导出来的

(一)第二宇宙速度的推导

第二宇宙速度是物体挣脱地球引力的束缚而成为绕太阳运行的人造行星,或飞到其他行星上去的飞船所具有的最小速度,也叫脱离速度．

设物体的质量为m,由地面克服地球引力飞至无穷远处,需做多少功呢?

如图所示,地面a处离地心为R0,即Oa＝R0,Ob＝R1,Oc＝R2…O∞＝R∞

物体在a处受引力F0＝G ；b处受引力F1＝G ；…

物体由a移到b,需克服引力做功W1＝ 01(ab)．由于F0到F1中力是变化的,为此采取近似方法：

01＝G

这样由于 ,故F0＞ 01＞F1

所以W1＝G

即W1＝GMm( )(物体由a→b)

同理 W2＝GMm( )(物体由b→c)

W3＝GMm( )(物体由c→d)

…

W∞＝GMm( )

物体由a移到无限远处时,共需做功

W＝W1＋W2＋…＝GMm( )＝GMm/R0．式中 ＝0

故物体在地面上需要具有动能 mv22＝GMm/R0

所以,第二宇宙速度v2＝ ＝11.2 km/s(式中G为引力常量,M为地球的质量,R0为地球半径)

(二)第三宇宙速度的推导

物体要进一步挣脱太阳的引力束缚,飞到太阳系以外的宇宙空间去所必须具有的最小速度,叫第三宇宙速度,也叫逃逸速度．

根据推导第二宇宙速度的同样道理可知,物体为了挣脱太阳的引力飞出太阳系,必须具有速度v′＝ ,式中M日＝2×1030 kg,R日地＝1.49×1011 m

所以v′＝42.2 km/s

物体是由地面出发的,地球围绕太阳公转的线速度v线＝29.8 km/s,如果物体顺着地球运动的轨道切向飞出的话,便可借助于地球的公转线速度,因而只需Δv＝v′－v线＝42.2-29.8＝12.4 km/s就行了．但是,物体要飞出太阳系,要克服太阳的引力,首先要挣脱地球引力的束缚才行．故物体在地面上应该具有的动能为 mv32＝ mv22＋ m(Δv)2

故v3＝ ＝ km/s＝16.7 km/s

第二宇宙速度如何推导

由GMm/R^2=mV1^2/R

第一宇宙速度 V1=(GMm/R)^1/2=7.9km/s

设无穷远为0势能面

卫星摆脱地球引力束缚的最小速度为第二宇宙速度 V2

由1/2mv2^2+(-GMm/R^2)=0V2=(2GMm/R)^1/2=√2V1=11.2km/s

第一第二宇宙速度的推导

谈谈本人的理解，因为和网上不尽一样，既只作参考。如果从最低卫星轨道上做自由落体，到地面的最大速度是7.9公里/秒，这样发射速度达到7.9公里/秒，就会进入卫星轨道。进入卫星轨道，卫星最快速度也是7.9公里/秒。由于自由落体方向是垂直地面，而卫星轨道方向是平行地面，这样想要卫星继续上升，不仅要超过卫星的最大速度，且上升方向还要领先卫星方向，即卫星合力产生的方向要大于卫星轨道45度角。而大于45度，卫星速度就必须大于两个方向速度的平方和，即第二宇宙速度大于，7.9的平方加7.9的平方，所以第二宇宙速度是11.2公里/秒。

如何证明第二宇宙速度为第一宇宙速度的

假设在地球上将一颗质量为m的卫星发射到绕太阳运动的轨道需要的最小发射速度为V； 此时卫星绕太阳运动可认为是不受地球引力,距离地球无穷远； 认为无穷远处是引力势能0势面,并且发射速度是最小速度,则卫星刚好可以到达无穷远处.由动能定理得 mV^2-GMm/r^2*dr=0; 由微积分dr=r地 解得V=√(2GM/r) 这个值正好是第一宇宙速度的√2倍.第三宇宙速度的计算方式 计算方式：G*M*m/r^2 = m*(v^2)/r G引力常数,M被环绕天体质量,m环绕物体质量,r环绕半径,v速度.得出v^2 = G*M/r,月球半径约1738公里,是地球的3/11.质量约7350亿亿吨,相当于地球质量的1/81.月球的第一宇宙速度约是1.68km/s.再根据：V^2＝GM(2/r-1/a) a是人造天体运动轨道的半长径.a→∞,得第二宇宙速度V2=2.38km/s.一般：第二宇宙速度V2等于第一宇宙速度V1乘以√2.第三宇宙速度V3较难：我以地球打比方吧,绕太阳运动的平均线速度为29.8km/s.在地球轨道上,要使人造天体脱离太阳引力场的逃逸速度为42.1km/s.当它与地球的运动方向一致的时候,能够充分利用地球的运动速度,在这种情况下,人造天体在脱离地球引力场后本身所需要的速度仅为两者之差V0=12.3km/s.设在地球表面发射速度为V3,分别列出两个活力公式并且联立：V3^2-V0^2=GM(2/r-2/d) 其中d是地球引力的作用范围半径,由于d远大于r,因此和2/r这一项比起来的话可以忽略2/d这一项,由此就可以计算出：V3=16.7km/s,也就是第三宇宙速度.