正定矩阵定义

一：正定矩阵的定义

设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量,X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵

二：什么叫正定矩阵

正定矩阵

设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 　　X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。 　　正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。 　　所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 　　另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 　　判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 　　判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正。 　　判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

baike.baidu.com/view/686970.html?wtp=tt 附上网址便于您查看

三：正定矩阵定义

对一般的矩阵来说，要把矩阵化成标准型才可以这样说。

一个矩阵是正定的是指该矩阵对应的实二次型f(x1,x2,...,xn)对任意的一组不全为零的实数c1,c2,...,cn都有f(c1,c2,...,cn)>0

四：正定矩阵怎么理解较好

对一般的矩阵来说，要把矩阵化成标准型才可以这样说。 一个矩阵是正定的是指该矩阵对应的实二次型f(x1,x2,...,xn)对任意的一组不全为零的实数c1,c2,...,cn都有f(c1,c2,...,cn)>0

五：如何用正定矩阵定义证明改矩阵A为正定矩阵

首先写出二次型表达式。

二次型f(x1,x2,...,xn)=x1²+x2²+...+xn²+2/nx1x2+2/nx1x3+...+2/nxn-1xn

=n·1/nx1²+n·1/nx2²+...+n·1/nxn²+2/nx1x2+2/nx1x3+...+2/nxn-1xn

利用 a²+2ab+b²=(a+b)²

f(x1,x2,...,xn)=(1/nx1²+2/nx1x2+1/nx2²)+(1/nx1²+2/nx1x3+1/nx3²)+...

+(1/nxn-1²+2/nxn-1xn+1/nxn²)=1/n[(x1+x2)²+(x1+x3)²+...+(xn-1+xn)²]

显然当x=(x1,x2,...,xn)≠0时，f(x1,x2,...,xn)＞0

所以此二次型为正定二次型。

newmanhero 2015年4月27日22:09:11

希望对你有所帮助，望采纳。

六：什么是正定矩阵？

正定矩阵有多种等价定义：如实矩阵A正定，如果对任意向量x,二次型xAx'>0.

见大学教材〈高等代揣〉线性代数

七：怎么判断一个矩阵是否为正定矩阵？ 5分

正定矩阵的定义是从正定二次型来的

正定二次型的矩阵称为正定矩阵，

对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

所以计算得到矩阵的特征值，全部为正数就是正定矩阵

八：什么是正定矩阵，正交矩阵

如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵， 若A为单位正交阵，则满足以下条件:

1) AT是正交矩阵

2)（E为单位矩阵）

3) A的各行是单位向量且两两正交

4) A的各列是单位向量且两两正交

5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R

6) |A| = 1或-1

正交矩阵通常用字母Q表示。

举例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]

则有：r11^2+r12^2+r13^2=r21^2+r22^2+r23^2=r31^2+r32^2+r33^2=1

r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质

广义定义

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有 z'Mz > 0，其中z' 表示z的转置，就称M正定矩阵。[1]

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

狭义定义

一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z’Mz> 0。其中z’表示z的转置。

九：怎么做呢，还有什么是正定矩阵呢

正定矩阵说白了其实就是对角线元素全是正数的矩阵，对于这道题，若A为正定矩阵，显然由正定矩阵的定义，只要化为标准矩阵之后对角线元素都是正数即可，不一定是对称矩阵。化为标准矩阵对角线全是正数，没有0，那么秩肯定是n，与D的说法是等价的。要记住，A为正定矩阵，A的转秩也是正定的，但是A的逆是不一定正定的。望采纳