利用二项式定理证明

一：如何用数学归纳法证明二项式定理

利用杨辉三角。

(1)观察杨辉三角,猜想二项式定理

既然表中除1以外的每个数都等于它肩上两个数的和,如将第1行的1,1用组合数C01,C11表示,那么第2 行的中间一数应为C01+ C11= C12,引导学生利用组合的性质C0n=Cnn=1, Cmn+Cm-1n= Cmn+1

将杨辉三角中每个数转化成组合数形式:

归纳猜想:(a十b)n展开式的系数是,,,…,于是

(a十b)n=C0n an十C1n an-1十…十an-rbr十…十Cnn bn

(2)概念:这个公式叫二项式定理,右边的多项式叫做(a十b)n的二项展开式,

(r=0,1,……n)叫做二项式系数,叫做二项展开式的通项,记作Tr+1=.

(3) (a十b)n展开式的特点

二项式定理(a十b)n=C0n an十C1n an-1十…十an-rbr十…十Cnn bn的特点是:

(1)项数:共有n十1项;

(2)系数:第r十1项的系数是 (r=O,l,2,…,n);

(3)指数:a的指数是从n开始,逐渐减1按降幂排列到0;b的指数是从0开始,逐渐加1按升幂排列到n;

(4)项的次数:各项次数和都是n;

(4)注意事项(通项公式的应用)

二项展开式的通项Tr+1=, (r=0,l,2,…,n)是(a十b)n展开式的第r十l项,而不是第r项.其中还要注意下面两点:

第一点是a,b的位置不能颠倒,即(b十a)n的展开式第r十1项,不是,而应为;

第二点是(a一b)n的展开式第r十1项为=(-1)r.

(2)注意区别二项式系数与指定项的系数二者异同

在(a十b)n的展开式中,系数(r=0,l,…,n)是一组仅与二项式的次数n有关的n十1个组合数,而与a,b无关,因此称为二项式系数.而(a十b)n的展开式中指定项系数与a,b是有联系的.例如:(1十x)n的展开式第r十1项的系数为,而(1十2x)n的展开式第r十l项的系数为2r,(2十x)n的展开式第r十1项的系数为

重在启发,引导学生归纳

例题讲解

展开(1+1)4.

求(2a+b)5的展开式的

第四项;

(2)第四项的二项式系数;

(3)第四项的系数.

简解:(1)T3+1==10·4a2b3=40a2b3

(2) =10

(3) 40

强调:展开式中某项的系数与二项式系数是不同的概念.

【例3】求(x-)9的展开式中x3的系数.

分析:抓住通项公式.

【例4】 求(一)15的展开式中常数项.

分析 (一)15的展开式中的常数项,就是展开式中x的指数为零的项.

解 设(一)15展开式中常数项为第r十1项,则Tr+1=

=,令 解得r=6,从而可知不含x的项是展开式中的第7项.

所以展开式中常数项为T7=(一1)6=5005.

评注 根据已知条件求二项展开式中特定的项的问题,往往先根据己知条件或通项公式,把问题转化为求方程的解,最后再代人通项公式求出问题的解.

二：利用二项式定理证明：3^n>[2^(n-1)](n+2) (n∈N*,n≥2).

3^n=(2+1)^n=2^n+C(n,1)*2^(n-1)+……

>2*2^(n-1)+n*26(n-1)

=(n+2)*2^(n-1).