四边形周长最小

一：如图，求四边形周长最短时是怎么求的

角ACD=角BDC时最小

显然要使周长最小即使得AC+BD最小

如图作BE//CD且BE=CD，找出E点关于CD的镜像点F，则CF=CE=BD，所以有AC+BD=AC+CF,原问题即变为使AC+CF最小，显然AC+AF>=AF,当C为AF与CD的交点时取等，此时可以证明角ACD=角BDC

二：为什么面积相等的四边形中正方形的周长最小

设四个边按顺时针分别是abcd（1）在等周时面积最大的四边形应有以下性质：a=b,c=d证：假定面积最大的四边形不满足此条件,即a≠b,c≠d.用一个对角线把这个四边形分成两个三角形,a,b和c,d各在一个三角形中.利用海伦公式和均值不等式很容易证明,如果令a'=b',c'=d',则新的四边形比原有的要大,与假设矛盾.这样就证明了（1）（2）利用（1）,容易证明面积最大的四边形应满足a=b=c=d,或者说这个四边形是一种菱形证明法同1类似（3）容易证明在满足（2）的菱形中,有一个角是直角时面积最大,因此这个菱形是正方形.综上,周长相等的四边形中,正方形面积最大.