线面平行性质定理

一：线面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。已知：a∥b，a∉α，b⊂α，求证：a∥α 反证法证明：假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A∈α∵a∥b，∴A不在b上在α内过A作c∥b，则a∩c=A又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，与a∩c=A矛盾。∴假设不成立，a∥α向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。∵b⊂α∴b⊥p，即p·b=0∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb那么p·a=p·kb=kp·b=0　　即a⊥p∴a∥α 平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。求证：a∥α证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC∵B∈α，C∈α，b⊥α∴b⊥BC，即∠ABC=90°∵a⊥b，即∠BAC=90°∴在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。∴假设不成立，a∥α

二：线面平行的直线与平面平行的性质定理

一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。已知：a∥α，a∈β，α∩β=b。求证：a∥b证明：假设a与b不平行，设它们的交点为P，即P在直线a，b上。∵b∈α，∴a∩α=P与a∥α矛盾∴a∥b此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。注意：直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。 一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。已知：a∥α，b⊥α。求证：a⊥b　　证明：由于α的垂线有无数条，因此可将b平移至与a相交，设平移的直线为c，a∩c=M，c与α的垂足为N。∵两条相交直线确定一个平面∴设a和c构成的平面为β，且α∩β=l∵N∈c，N∈α，c⊂β∴N∈l，且由定理1可知a∥l∵c⊥α，l⊂α∴c⊥l∴a⊥c由于平移不改变直线的方向，因此a⊥b