齐次方程的通解

一：齐次线性方程组通解

可以把齐次方程组的系数矩阵看成是向量组。

求向量组的极大无关组的一般步骤：

1. 把向量组作为矩阵的列向量构成一个矩阵；

2. 用初等行变换将该矩阵化为阶梯阵；

3.主元所在列对应的憨向量组即为极大无关组。

求齐次线性方程组通解要先求基础解系，步骤：

a. 写出齐次方程组的系数矩阵A；

b. 将A通过初等行变换化为阶梯阵；

c. 把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元（n – r 个）；

d.令自由元中一个为 1 ，其余为 0 ，求得 n – r 个解向量，即为一个基础解系。

齐次线性方程组AX= 0：

若X1，X2… ，Xn-r为基础解系，则X=k1 X1＋ k2 X2 +…+kn-rXn-r，即为AX= 0的全部解（或称方程组的通解）。

二：高数 齐次方程 求通解 求过程

联立解 x-y+1 = 0, x+y-3 = 0 , 得 （1，2）

作变换 x = X+1, y = Y+2,

原来的准齐次方程化为齐次方程 dY/dX = (X-Y)/(X+Y),

令 Y = XU， 则 U+XdU/dX = (1-U)/(1+U)

XdU/dX = (1-2U-U^2)/(1+U)

(1+U)dU/(1-2U-U^2) = dX/X

d(1-2U-U^2)/(1-2U-U^2) = -2dX/X

ln(1-2U-U^2) = -2lnX+lnC

1-2U-U^2 = C/X^2

X^2-2XY-Y^2 = C

通解是 (x-1)^2 - 2(x-1)(y-2) - (y-2)^2 = C

三：齐次方程的通解与特解

将通解带入原式，得到特解！

四：高等数学微分方程齐次微分方程特解通解问题……课本上写的是，两个特解的线性组合是齐次方程的通解，为什

对于常微分方程来说，其导数项为多项式形式，系数为常数，其解空间是线性空间，线性空间的特点是满足可加性和齐次性，就是叠加原理，因此y1=e^(2x)，y2=2e^(-x)-3e^(2x)的任何线性组合a1y1+a2y2都是原方程的解，其中a1,a2是常数。事实上，特别是e^(2x)，e^(-x)是解空间的基。