等对角四边形

一：类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已

（1）130°，80°；（2）①证明见解析；②不正确，反例见解析；（3） 或 . 试题分析：（1）根据定义和四边形内角和定理求解即可.（2）①连接BD，根据定义以及等腰三角形的判定和性质求证即可.②当相等角的两边相等时，结论不正确.（3）分∠ADC＝∠ABC＝90°和∠BCD＝∠DAB＝60°两种情况讨论即可.试题解析：（1）∵等对角四边形ABCD中，∠A≠∠C，∠B＝80°，∴∠Ｄ＝∠B＝80°．∵∠A＝70°，∴ ．（2）①如图，连接BD，∵AB＝AD，∴ .∵ ，∴ .∴CB＝CD. ②不正确，反例如图，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，但CB≠CD. （3）①如图，当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD,BC交于点F，∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB=5，∴AE=10.∴ .∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，∴ .∴ . ②如图，当∠BCD＝∠DAB＝60°时，过D点作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∵DE⊥AB，∠DAB＝60°，AD＝4，∴ .∴ .∵四边形BFDE是矩形，∵ .∵∠BCD＝60°，∴ .∴ .∴

二：任意一个四边形只要对角加起来等于180度就可以说明四点共圆吗

应该说明是凸四边形。

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。四点共圆有三个性质:(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;(2)圆内接四边形的对角互补;(3)圆内接四边形的外角等于内对角。以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）

已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°

求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）

证明：用反证法

过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，

若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180° ，

∵∠A+∠C=180° ∴∠DC’B=∠C

这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。

∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。

三：对角相等的四边形一定是平行四边形对吗

已知：在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，

求证：四边形ABCD是平行四边形。

证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C，∠B=∠D，

∴2∠A+2∠B=360°，2∠A+2∠D=360°，

∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形。

四：一个四边形，其对角相等，如何判断是不是平行四边形

平行四边形的判定方法1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形；6.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗

【两组对角分别相等的四边形是平行四边形】

设在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形。

证明：

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°（四边形内角和360°），

∠A=∠C，∠B=∠D（已知），

∴2∠A+2∠B=360°（等量代换），

∴∠A+∠B=180°，

∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），

∵∠B=∠D（已知），

∴∠A+∠D=180°（等量代换），

∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），

∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形）