魏尔斯特拉斯

一：解释一下魏尔斯特拉斯函数，连续但不可导到底是怎么回事？最好直观一点。

二：魏尔斯特拉斯函数的构造

魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：其中0 lim sup这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。一般人会直觉上认为连续的函数必然是近乎可导的。即使不可导，所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分。根据魏尔斯特拉斯在他的论文中所描述，早期的许多数学家，包括高斯，都曾经假定连续函数不可导的部分是有限或可数的。这可能是因为直观上想象一个连续但在不可数个点上不可导的函数是很困难的事。当我们绘制函数的图像时，总会画出较为规则的图形，例如满足利普希茨条件的函数图像。魏尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。

三：魏尔斯特拉斯对分析严格化的贡献主要表现在他创造了一套什么语言

在极限理论方面,魏尔斯特拉斯反对“让一个变量趋于一个常量”这种模糊不清的说法,而改用现在通用的“ε-δ”语言来描述极限,使极限理论严格化,进而可以用类似的手段严格定义函数的连续性,魏尔斯特拉斯还提出了“有界数列必存在收敛子列”这一实数系基本定理,加深了人们对实数系的认识,柯西没有给出基本序列一定收敛的证明就是因为他不清楚实数系的构造,用这个定理可以很容易证明柯西收敛准则的充分性.在微分领域,魏尔斯特拉斯给出一个处处连续函数却处处不可导的函数的例子,从而更正了前人认为“连续函数只能在个别点不可导”的错误认识,使人们对连续和可微的关系有了更深的理解.在无穷级数领域,前人很随意地使用一些发散的级数,导致某些谬误的出现,魏尔斯特拉斯严格表述了一致收敛的概念,并给出级数逐项积分和逐项求导的条件,从而使级数的使用严密化.

四：魏尔斯特拉斯为什么被称为现代分析之父

卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯，德国数学家，被誉为“现代分析之父”。在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。他是把严格的论证引进分析学的一位大师，为分析严密化作出了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之一。——常识科学篇。