一：二次型化为标准型的步骤。
1. 含平方项的情形
用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3为标准形
解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3
--把含x1的集中在第一个平方项中, 后面多退少补
= (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3
--然后同样处理含x2的项
= (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2
2. 不含平方项的情形
比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3
令 x1=y1+y2, x2=y1-y2
代入后就有了平方项, 继续按第一种情形处理
3. 特征值方法
写出二次型的矩阵
求出矩阵的特征值
求出相应的特征向量
这部分比较麻烦, 你找本教材看看例题吧
二：请教二次型化标准型的方法
1. 含平方项的情形
用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3为标准形
解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3
--把含浮1的集中在第一个平方项中, 后面多退少补
= (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3
--然后同样处理含x2的项
= (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2
2. 不含平方项的情形
比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3
令 x1=y1+y2, x2=y1-y2
代入后就有了平方项, 继续按第一种情形处理
3. 特征值方法
写出二次型的矩阵
求出矩阵的特征值
求出相应的特征向量
这部分比较麻烦, 你找本教材看看例题吧
三：线性代数中“关于用正交变换化二次型为标准型”的计算题，如下图片所示：
【分析】
二次型矩阵A为实对称矩阵。它的不同特征值的特征向量必正交。
【解答】
二次型矩阵A为
a -1 1
-1 0 b
1 b 1
根据特征值，特征向量定义，Aα1=λ1α1，α1=（1，-1，0）T ，得
a+1=λ1
-1=-λ1
1-b=0
所以 a=0，b=1，λ1=1，矩阵A为
0 -1 1
-1 0 1
1 1 1
求解特征方程 |λE-A|=0，得λ1=1，λ2=√3，λ3=-√3
λ1=1时的特征向量为，α1=（1，-1，0）T
λ2=√3时的特征向量为，α2=（(√3-1)/2，(√3-1)/2，1）T
λ3=√3时的特征向量为，α3=（(-√3-1)/2，(-√3-1)/2，1）T
由于λ1，λ2，λ3不同，所以特征向量必正交，下面只需要单位化即可。
β1=（1/√2，-1/√2，0）T
β2=（(√3-1)/2(3-√2)，(√3-1)/2(3-√2)，1/(3-√2)）T
β3=（(-√3-1)/2(3+√2)，(-√3-1)/2(3+√2)，1/(3+√2)）T
令C=（β1，β2，β3）。C即为正交变换矩阵。
A的最大特征值为λ2=√3。存在正交变换x=Cy，可化f为标准型。
f=XTAX===λ1y1²+λ2y2²+λ3y3² ≤ λ2（y1²+y2²+y3²）
因正交变换不改变向量长度，故当XTX=x1²+x2²+x3²=2时，有y1²+y2²+y3²=2，于是
f=XTAX≤2λ2，① 对应的特征向量为α2。
由Aβ2=λ2β2，f=β2TAβ2=β2Tλ2β2=λ2β2Tβ2=2λ2 ②
综合①②，即知
maxXTAX=2λ2=2√3.
【评注】
二次型 f=XTAX在XTAX=k的条件下，最大（小）值为A的最大（小）特征值，且最大（小）值在对应于最大（小）特征值的单位特征向量处取到。
newmanhero 2015年3月9日13:52:41
希望对你有所帮助，望采纳。
四：第2题的（3）用配方法化下列二次型为标准型
f=x1^2+5x2^2+6x3^2-10x2x3-6x1x3-4x1x2
= (x1-2x2-3x3)^2 +x2^2-3x3^2-22x2x3
= (x1-2x2-3x3)^2 +(x2-11x3)^2 -124x3^2
= y1^2+y2^2-124y3^2
C=
1 -2 -3
0 1 -11
0 0 -124
五：用非退化线性替换化下列二次型为标准型并利用矩阵验算所得结果这样的题怎么写例如34题
先写二次型相应的对称矩阵，然后使用合同变换，变成标准型，即可。
例如：第3题
矩阵A=
1 -1 1
-1 -3 -3
1 -3 0
下面使用初等变换，将其化为标准型，对角阵
1 -1 1
-1 -3 -3
1 -3 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
第2列,第3列, 加上第1列×1,-1
1 0 0
-1 -4 -2
1 -2 -1
1 1 -1
0 1 0
0 0 1
第2行,第3行, 加上第1行×1,-1
1 0 0
0 -4 -2
0 -2 -1
1 1 -1
0 1 0
0 0 1
第3列, 加上第2列×-1/2
1 0 0
0 -4 0
0 -2 0
1 1 -3/2
0 1 -1/2
0 0 1
第3行, 加上第2行×-1/2
1 0 0
0 -4 0
0 0 0
1 1 -3/2
0 1 -1/2
0 0 1
得到矩阵P
1 1 -3/2
0 1 -1/2
0 0 1
因此可以作非退化线性替换
X=PY
即
x1=y1+y2-3y3/2
x2=y2-y3/2
x3=y3
得到
(y1+y2-3y3/2)(y1+y2-3y3/2)
-3(y2-y3/2)(y2-y3/2)
+2(y1+y2-3y3/2)(3y3/2 - y2)
-6(y2-y3/2)y3
=y1²-4y2²
扫一扫手机访问
