三角形的中线定理

一:什么三角形底边的中线是底边的一半

【直角三角形】

【如果三角形的一边中线等于该边长的一半,那么三角形为直角三角形。】

设在△ABC中,AD为BC边的中线,且AD=1/2BC,求证:△ABC为直角三角形。

【证法1】

∵AD是BC边的中线,

∴BD=CD=1/2BC,

∵AD=1/2BC,

∴BD=AD=CD,

∴∠1=∠B,∠2=∠C,

∴∠1+∠2=∠B+∠C,

即∠BAC=∠B+∠C,

∵2∠BAC=∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和180°),

∴∠BAC=90°,

∴△ABC是直角三角形。

【证法2】

取AC的中点E,连接DE。

∵AD是BC边的中线,

∴BD=CD=1/2BC,

∵AD=1/2BC,

∴AD=CD,

∵点E是AC的中点,

∴DE⊥AC(三线合一),

∴∠DEC=90°,

∵点D是BC的中点,点E是AC的中点,

∴DE是△ABC的中位线,

∴DE//AB,

∴∠BAC=∠DEC=90°,

∴△ABC是直角三角形。

【证法3】

延长AD到E,是DE=AD,连接BE、CE。

∵AD是BC边的中线,

∴BD=CD,

又∵AD=DE,

∴四边形ABEC是平行四边形(对角线相等的四边形是平行四边形),

∵AD=1/2BC,AD=DE=1/2AE,

∴BC=AE,

∴四边形ABEC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),

∴∠BAC=90°(矩形的内角均为直角),

∴△ABC是直角三角形。

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