线性方程组的解法

一：线性方程组 解法 求过程

1题：对增广矩阵进行行变换

原方程组无解。

2题：对系数矩阵进行行变换

等价方程组为

基础解系为

二：线性方程组解的判别

①克拉默法则

对于线性方程组：

若满足其其系数的行列式不等于零，即

那么，原方程组有唯一解

注：对于齐次线性方程组而言，若D≠0，则方程组没有非零解，即唯一解为 X1=X2=···=Xn=0

②矩阵的秩：将线性方程组的增广矩阵 B=(A,b) 通过矩阵的初等变换，化为它的标准形

(I)方程组无解的充要条件为 R(A)＜R(B)；

(II)方程组有唯一解的充要条件为 R(A)=R(B)=n；

(III)方程组有无穷解的充要条件为 R(A)=R(B)＜n.

注：对于齐次线性方程组，有R(A)=R(B)恒成立，故方程组仅有(II)、(III)两种情况。

三：线性方程组的解怎么得到和标答一样的基础解系

1.将增广矩阵经初等行变换化成行阶梯形 (此时可判断解的存在性)

2.有解的情况下,继续化成行简化梯矩阵

非零行的首非零元所处的列对应的未知量是约束变量,其余未知量是自由未知量

例:非齐次线性方程组

1 2 0 4 5 (第一行的首非零元是a11=1,对应未知量 x1)

0 0 1 6 7 (第二行的首非零元是a23=1,对应未知量 x3)

所以自由未知量就是 x2,x4,令它们分别取 1,0; 0,1 直接得通解:

(5,7,0,0)+c1(-2,1,0,0)+c2(-4,0,-6,1)

四：怎么用一阶线性方程的解法解这个方程？

取倒数，dx/dy=x+y，以y为自变量，x'-x=y。容易看出特解为x=-y-1，通解为x=Ce^y，因此解为x=Ce^y-y-1，y是它确定的隐函数。