伽罗瓦理论

一：伽罗瓦理论的基本内容

域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。 若K/F为伽罗瓦扩张，K上的F-自同构的集合构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为Gal(K/F)。 对于H是Gal(K/F)的子群，称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域，这是一个中间域。 对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。 F⊂E⊂K形式的伽罗瓦扩张，E/F是正规扩张当且仅当Gal(K/E)是Gal(K/F)的正规子群。 在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。 广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内容。

二：伽罗瓦理论的介绍

伽罗瓦理论是用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响，其影响几乎长达整整一个世纪。

三：伽罗瓦理论的思想建立

在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。人们已经证明：这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。这样一来，一个用直尺和圆规作图的问题是否可解，就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。

四：伽罗瓦群论的基本内容是？

方程求解中的难题

方程论是古典代数的中心课题。早在公元3世纪的希腊数学家丢番图和9世纪的阿里·花拉子米，均求得一元二次方程ax2+bx+c=0的解。

到了16世纪，意大利数学家卡丹和他的学生费拉里相继发表了用根式求解三次方程和四次方程的方法。这个被后来数学界称为卡丹公式的三次方程求解公式，实际是公元1500年左右波仑亚的数学家非尔洛最先研究出的，后来几经转折被塔塔利亚掌握，卡丹保证保密后，塔塔利亚告诉给卡丹，但6年后，卡丹给出证明发表了。

由于不超过四次的方程都能通过根式求得它的一般解，那么高于四次的方程能否用根式求解，便成为人们关注的重大问题。很多数学家争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。从16世纪后半叶直到19世纪初，许多数学家和数学爱好者，都把它作为检验自己才能的试金石，可是毫无例外的都失败了。

根式解法虽然没有找到，但人们却积累了经验和知识。1799年，年仅22岁的高斯在作博士论文时，他没有去计算方程的根，而是证明它的存在性。他把方程与曲线联系起来，通过对曲线作定性研究，证明了每一个实系数多项式至少有一个实根或一个复根，这个结论被称为代数学基本定理。高斯的方法开创了探讨数学中整个存在问题的新途径。 　　接着，他研究了分圆方程，于1801年证明了这种方程可用根式求解，这表明某些高于四次的方程能用根式解出。那么，可用根式求解的是所有的高次方程，还是部分高次方程？这便成为摆在数学家面前的一个难题。

阿贝尔的成果轰动了世界

就在高斯证明了代数学基本定理3年后的1802年，又一数学新星阿贝尔在挪威的芬诺诞生了。阿贝尔有着较优裕的家庭，更幸运的是，他在中学时代遇上了一位杰出的教师霍姆伯。霍姆伯是挪威天文学家汉斯顿的助教，他使阿贝尔第一次感受了数学的意义和乐趣。霍姆伯也看到了阿贝尔不寻常的才能，给他找来欧拉、拉格朗日、拉普拉斯等大师们的原著，一起讨论疑难问题，使阿贝尔迅速了解当代数学的前沿课题。

阿贝尔在中学的最后一年，就开始了对五次方程的研究。起初他还是致力于寻求一般五次方程的解法，后来受丹麦著名数学家戴根的启发，他意识到一般五次方程可能根本就不存在类似于二、三、四次方程那样的求根公式。他想，如果这类求根公式存在，就该有无穷多个，这显然不可能。要么这些公式最终被统一起来，要么从某次方程起就不存在求根公式。既然寻找求根公式已屡遭失败，何不考虑五次方程没有根式解呢？经过5年的努力，1824年，22岁的阿贝尔证明了一般五次以上的代数方程，它们的根式解法是不存在的（除了某些特殊的方程）。

阿贝尔的成果轰动了世界，因为他解决了困扰数学界300年的难题。留下的问题是，能用根式解或不能用根式解的方程，到底用什么来判断？阿贝尔还没有来得及解决这一问题，1829年，过度劳累导致他的肺病再次发作，不到27岁的阿贝尔就匆匆离开了人世。

阿贝尔 伽罗瓦

伽罗瓦理论的诞生

阿贝尔未竟的事业，由一位比阿贝尔小9岁的极富传奇色彩的法国青年伽罗瓦担当起来。

伽罗瓦于1811年10月26日生于巴黎附近的雷因堡，父亲是镇长，母亲是一个法官的女儿，受过正统教育。中学时代，数学教师范涅尔的出色讲授唤起伽罗瓦对数学的兴趣。他自学了勒让德、拉格朗日、柯西等名师的著作，对前辈大师们的工作有了一定的了解，从16岁起，就致力于高次方程根式解法的研究。

对数学的迷恋和自信，伽罗瓦报考巴黎理工大学，但是两次都没考上。1829年，他考入巴黎师范大学。

他只上了一年大学，但这一年却是他在数学研究中最有成就的一年。他相信，方程是否有根式解与方程根......余下全文>>